◎温岭市职业中等专业学校 张明文
【摘 要】：深入剖析近几年浙江省中职数学高考试题，可以发现：单考单招背景下的中职数学高考命题，侧重于思想与方法的考察、淡化了逻辑与运算的测评，但凡难度系数大一点的题目，总是打着逆向思维的烙印。本文从学生逆向思维受阻的成因分析入手，结合学生逆向思维受阻的具体表现，提出了逆向思维训练的实施途径，探讨了逆向思维训练的实施策略。力求通过逆向思维训练，优化学生思维结构，协调学生思维方向，以思维的灵活性、深刻性和双向性，提高数学答题能力，备战中职数学高考。
【关键词】：逆向思维 训练 中职数学 高考
日本兵库县有个叫因波的小村子，是个非常贫穷的地方，因为土地贫瘠，交通闭塞，到处是一片荒凉的景象。多年以来，村里人想尽办法摆脱贫困，就是找不到致富的法子，为此，他们从首都东京请来了一位专家帮他们出点子。专家经过实地考察后向村民建议，你们不要再住木房子了，要住到树上去；不要再穿布料衣服了，要披树叶和兽皮，像几千年前的老祖宗那样生活。刚开始村民不愿意，经专家的一再解释，大家才勉强同意一试。后来，经过媒体和记者的宣传报道，这个村子很快就富了起来。
因为贫穷→不被关注，专家的点子就是反其倒而行之，引起关注→走向富裕。由此可见，事物的内在联系不仅体现在相似，还可以通过反差与逆转等关联表现出来，逆向思维就是打破常规思维定势，自下而上、从右到左，由未知到已知，从事物发展的反方向去思考和分析问题，透过现象来揭示事物本质的思维方法。通过逆向思维，创造性地解决实际问题的事例，在生活中比比皆是。
从师言教，逆向思维又是学生分析数学问题，提高数学解题能力的法宝。心理学家认为：思维是认知的核心，人的思维最初只能是单向的，只有认知达到了一定的程度，才能逐渐形成思维的可逆性和反复性。笔者通过多年高考教学实践，发现刚分流到中职高考班的高三学生，从正向思维序列转换到逆向思维序列，可划分为三个层次：
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正向→逆向 |
认知能力 |
转换时间 |
转换策略 |
学生比重 |
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第一层次 |
较强 |
建立正向思维的同时 |
稍加点拨 |
5％～10％ |
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第二层次 |
一般 |
相比正向有明显滞后 |
适当的训练 |
20％～30％ |
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第三层次 |
较差 |
非常缓慢 |
长期引导、加强训练 |
60％～75％ |
因此，在中职高考班的数学教学中，需要长期进行逆向思维引导，加强逆向思维训练，优化学生思维结构，协调学生思维方向，以思维的灵活性、深刻性和双向性，提高数学答题能力，备战中职数学高考。
一、逆向思维受阻的成因分析
1、基础水平低起点
进入中职高考班的学生大多有明确的学习动机，有强烈的进步欲望，然而，基础知识掌握不牢、基本技能欠缺、基本运算能力弱的现实，使他们心有余而力不足。抓不住数学知识的内在联系，理不顺具体问题的潜在脉络，以至于反差与逆转等关联无法展开。
2、心理暗示负效应
中考遭普高淘汰，给中职学生留下了浓重的心理阴影，家长开始放任，自我开始放逐。面对数学，很多学生已陷入了“反正学不好→干脆放弃学”的思潮，即使面对简单的数学问题，他们也缺乏思维的韧性，以想不出为由轻松地放弃，似乎放弃对他们来说是天经地义的事，从而由不愿思考过渡到了思维的缺失。
3、教学组织轻训练
因为中职学生的数学基础能力弱，高一、高二的数学教学中，教师尽可能地降低教学起点，低配教学目标，仅注重概念、公式、定理、性质与法则的正例变化，力求大部分学生能听慬，然后配以简单的模仿练习，淡化对知识的关联性差异进行对比，来保护他们的学习积极性。这种教学组织形式，对于不参加高职考试的学生来说无可厚非，然而，因为忽视思维的培养与训练，导致进入高考班的学生缺乏良好的思维习惯，对于不曾做过的题目，尤其是未曾经历的思维变化，无法迅速而准确地定位思考方向。*#*
二、逆向思维受阻的具体表现
1、缺少显而易见的逆向联想
在高一、高二的学习过程中，接触的思维大多是由此及彼的单向思考，忽略了逆向联想，从而造成了知识结构上的缺陷和思维过程中顽固的单向定势习惯。例如： a3÷a4、a4÷ a3等于多少，学生可以轻松口答，对于“若a3=m，a4=n，，则a-1/a=”，却只有少数学生才能正确填写。
2、缺乏逆向变形的转换能力
例如：求数列1/2、1/6、1/6、1/12、1/20……的通项公式an=与前n项和Sn。学生因为不能准确地将2、6、12、20分解为1×2、2×3、3×4、4×5，导致写不出通项an，等他们明白通项an=1/n(n+1)后，又因为不能将转换成1/n(n+1)=1/n-1/n+1，以至于求不出前n项和Sn。
3、忽视正逆转化的限制条件
例如：“α=β是sinα=sinβ的 条件”，很多学生想当然地填写了“充要”，原因在于由后推前时忽略了α∈R，β∈R的条件，遗漏了α=β以外的其他可能。特别是涉及一些限制条件的反求，学生更是束手无策，如：“若a﹤0，b﹤0，a+b=-6，则a·b最 值为 ”，该题只要采用逆向思维，将a+b=-6化成（-a）+（-b）=6，将a·b转化成（-a）·（-b），就满足均值定理成立的条件，解法清新、过程简捷。
4、忽略逆向分析的解题思路
众所周知，对于一道数学题，可以从多个角度去分析，从而产生多种解法，而最优解法往往来自于对具体题目的逆向分析。然而，学生在分析问题时只是习惯性地从条件到结论，却不会从结论出发去寻求解题思路，寻求最优解法，忽略双向思维的协调发展。例如：已知不等式ax2+bx-1＞0的解为1/3﹤x﹤1/2，求a、b的值。学生α习惯思路是ax2+bx-1=0的两根为1/3，1/2，通过韦达定理得出-b/a=1/3+1/2，-1/a=1/3×1/2，解得a=-6，b=5，很少有学生从反面入手，根据1/3﹤x﹤1/2得出（x-1/3）（x-1/2）﹤0，进而得出x2-5/6x+1/6﹤0，然后与原不等式相对照，化成-6x2+5x-1﹤0，从而得到a=-6，b=5。
三、逆向思维训练的实施途径
在高一高二的数学教学中，为了突出中职数学的工具性特征，教师重视数学与专业的有机结合，强调数学知识的实际应用，扩大了正向思维的活动领域，却淡化了知识要点的逆向延伸。“应用”到“应试”的转型，决定了中职高考班的数学教学，需要通过概念、公式、性质、定理的可逆性探究，以思维的转换，培养学生面对具体问题时的双向性思考。
1、充分挖掘概念中的逆向认知
数学概念是空间形式或数量关系在人们头脑里的反映。这种反映，包括了正逆两个层面的客观存在，例如：椭圆是平面上到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点之距）的点的轨迹。反过来说，平面上到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点之距）的点的轨迹是椭圆亦成立。因此，在概念的复习中，如果注重从逆向提问，学生不仅对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，还能够培养学生养成双向考虑问题的良好习惯。再如：在讲解“对数”概念时，不仅要问学生：“以2为底8的对数是几？”还要问：“3是以2为底谁的对数？”，“以谁为底8的对数是3？”，“底数、对数、真数三者之间有何特征？”，这样从正逆两个方面提出问题，可以帮助学生深刻理解对数的概念。
2、合理设计公式中的逆向运用
在中职数学高考范畴，最大的数学公式群集中在三角函数章节，如：三角恒等式、诱导公式、和角公式、倍角公式等，原始公式多达36个，加上部分公式的变形式，很容易让学生迷失在公式之中，然而，中职数学高考中的三角试题，大多涉及到公式的逆向运用。合理设计公式中的逆向运用，是应对20℅试题份额的关键。教学中，需要增加公式的逆用训练，例如：公式cos2α=1-2sin2α，，从左向右看,余弦变正弦、倍角变半角、升幂；从右向左看，则呈现正弦变余弦、半角变倍角、降幂等特征；再如：恒等式sin2α+cos2α=1,从左向右看，已知其一，可求其二；从左向右看,可以将数字1转换成sinα与cosα的平方和，可使一些特定的题型获得巧解。例如：已知tanα=3，求1/sinα·cosα的值。从正向思考，可以通过同角三角函数的两个基本关系式，用方程思想直接将sinα与cosα求出，思路并不复杂，学生大多能自行解决，但从解题效率来看，此法已落入下品。如果采用逆向联想，可获巧解：原式=1/(sinα·cosα) =(sin2α+cos2α)/( sinα·cosα) =(tan2α+1)/ tanα=10/3。*#*
3、深入探究性质中的逆向拓展
4、重点关注定理中的逆向思辨
定理都是真命题，但不一定都存在逆命题，逆命题即使存在，也有真有假。中职高考班学生往往不能明辨是非，错误地认为只要是定理就具有可逆性。例如：命题“若两直线的斜率满足k1·k2=-1，那么这两条直线相互垂直”是真命题，其逆命题“若两条直线相互垂直，那么两直线的斜率满足k1·k2=-1”却是一个假命题，学生因为不能正确认识，在解题时依然将逆命题当成真命题使用，导致错解。因此在定理教学中，应重点关注定理中的逆向思辨，探求逆命题的真假，以反例的形式，加深学生对定理的认识与理解，使学生的认知不断完备，思维不断严谨。
四、逆向思维训练的实施策略：
对于中职高考班学生来说，他们中的大多数逆向思维能力弱，需要通过逆向思维能力所引起的思维变革刺激他们的思维欲望；需要通过长期地逆向思维引导扩展他们的思维认知；需要不断地加强逆向思维训练优化他们的思维结构。使他们克服由单向思维定势造成的刻板与僵化，使他们在遇到新条件、新题型时能独立发现新方法、新结论。
1、唤意识 —— 左右逢源
意识决定行为。只有在正向思维通畅的基础之上，不断地灌输逆向思维意识，才能唤醒中职学生沉睡的逆向思维习惯。笔者经常在课堂教学中讲一些关于逆向思维的小故事，用来启发学生展开逆向联想，例如： 2013年浙江省高职考试研究联合体编制的数学模拟卷中有这样一道题，“已知正数x，y满足2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。”在分析该题之前，我先给学生讲了一则网上流传的故事。【北京某官员在山西被当地煤老板宴请，酒后吐豪言：只要肯花钱，什么事都能办。老板连连称颂后发问：花500万，能否把我爹的照片挂到天安门城楼上去？官员答：“钱不够，不能办。”老板咬牙添了筹码：“那就3000万。” 官员说：“行，一周后保证完成。”一周后，老板进京到天安门广场，仍见天安门上挂的是毛主席照片,于是找官员理论，怒称天安门上是毛泽东照片不是他爸爸的，要求退钱。官员称已完成任务不能退，天安门上挂的就是你爸爸照片，你回去查户口就知道了。煤老板无奈，回到家乡派出所查户口，发现自己的名字已经被改成了“毛岸英”。】
学生哄堂大笔的同时，逆向思维的种子已悄然渗透，以至于例题的分析与讲解就不会显得牵强附会，将1/x+1/y中的两个1换成2x+y也就顺理成章，然后通过均值定理求最小值就变得理所当然。只有思维过程的左右逢源，才能深刻体验解题过程得以优化的乐趣。*#*
2、列组题 —— 一叶知秋
有了逆向思维意识，必须有逆向思维行为的跟进。给学生提供快餐式组题，就显得非常有必要了。笔者在教学中，通常是以故事埋下种子，然后以例题引发种子萌芽，接着提供一组训练题，并启发他们展开一叶知秋式的联想，以达到巩固与强化的训练目的。在例题“已知正数x，y满足2x+y=1求1/x+1/y的最小值”得以解决之后，笔者给学生提供了这样一组题，
该变式题组始终围绕项的拆补而展开，由正向到逆向、由轻松到困难、由旧识到新知，逐步过渡。学生获取知识的过程比结果更重要，在教学中，笔者总会留给学生逆向思考的时间与空间，让学生有所发现，有所体验，实现“挖出萝卜带着泥”的思维外延。
4、重分层 —— 各得其所
数学中的许多逆向问题对中职高考班的中、下层学生来说，考虑起来还是比较困难的，该回避的还是不涉及为好，即使回避不了，也要以学生的接受能力来设定。因此，逆向思维训练，必须分层实施，随时关注学生的可接受性，以基础知识和思想方法为前提，根据学生实际，分层设计逆向思维训练题的内容和梯度，保证每一位学生都能得到不同程度的思维拓展。例如：组题训练中的③与④，变式训练中的变式3和变式4，仅对中职高考班中基础较好的学生有要求，基础能力不够的学生仅做前两例即可。在教学中，教师应尽可能的尊重学生的理解方法，体现学生的主体作用，使每一个学生都能得到不同程度的逆向思维洗礼。
综上所述，加强逆向思维训练，备战中职数学高考，必须从多途径入手，根据具体数学问题的特点，唤醒学生的逆向思维意识，加强以组题与变式为手段的逆向思维训练，通过不断地联想与反思，优化学生思维结构，协调学生思维方向，这对于提高中职高考班的数学备考质量、激发学生的学习兴趣和创新精神都具有深远的意义。
【参考文献】：
1、杨星光 《数学教学中如何培养学生的逆向思维能力》 卫生职业教育 2008年第11期
2、许娟娟 《数学教学中逆向思维能力及其培养》 基础教育研究 2012年第03期
3、张运英 《关于中职数学教学的几点思考》 中等职业教育 2012年第08期